[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.8 \(\int \frac{x^3}{a+b \cos ^2(x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=415 \[ -\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 i x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 i x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,-\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{8 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,-\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{8 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}} \]

[Out]

((-I/2)*x^3*Log[1 + (b*E^((2*I)*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + ((I/2)*x^3*Log
[1 + (b*E^((2*I)*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^((2*
I)*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a
 + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (((3*I)/4)*x*PolyLog[3, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b
- 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (((3*I)/4)*x*PolyLog[3, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b + 2*Sqr
t[a]*Sqrt[a + b]))])/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*PolyLog[4, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])
)])/(8*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*PolyLog[4, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(8*Sqrt[a]*
Sqrt[a + b])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.623474, antiderivative size = 415, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 13, number of rules used = 8, integrand size = 14, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.571, Rules used = {4586, 3321, 2264, 2190, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ -\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 i x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 i x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,-\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{8 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,-\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{8 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^3/(a + b*Cos[x]^2),x]

[Out]

((-I/2)*x^3*Log[1 + (b*E^((2*I)*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + ((I/2)*x^3*Log
[1 + (b*E^((2*I)*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^((2*
I)*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a
 + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (((3*I)/4)*x*PolyLog[3, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b
- 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (((3*I)/4)*x*PolyLog[3, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b + 2*Sqr
t[a]*Sqrt[a + b]))])/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*PolyLog[4, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])
)])/(8*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*PolyLog[4, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(8*Sqrt[a]*
Sqrt[a + b])

Rule 4586

Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^2*(b_.) + (a_))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Dist[1/2^n, Int[x^m*(2*a + b + b*Co
s[2*c + 2*d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a + b, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0] && (EqQ[n, -1
] || (EqQ[m, 1] && EqQ[n, -2]))

Rule 3321

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[2, Int[((c
 + d*x)^m*E^(I*Pi*(k - 1/2))*E^(I*(e + f*x)))/(b + 2*a*E^(I*Pi*(k - 1/2))*E^(I*(e + f*x)) - b*E^(2*I*k*Pi)*E^(
2*I*(e + f*x))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IntegerQ[2*k] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

Rule 2264

Int[((F_)^(u_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.))/((a_.) + (b_.)*(F_)^(u_) + (c_.)*(F_)^(v_)), x_Symbol] :> With[{q =
 Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Dist[(2*c)/q, Int[((f + g*x)^m*F^u)/(b - q + 2*c*F^u), x], x] - Dist[(2*c)/q, Int[((f +
g*x)^m*F^u)/(b + q + 2*c*F^u), x], x]] /; FreeQ[{F, a, b, c, f, g}, x] && EqQ[v, 2*u] && LinearQ[u, x] && NeQ[
b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
 (f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
 - Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{x^3}{a+b \cos ^2(x)} \, dx &=2 \int \frac{x^3}{2 a+b+b \cos (2 x)} \, dx\\ &=4 \int \frac{e^{2 i x} x^3}{b+2 (2 a+b) e^{2 i x}+b e^{4 i x}} \, dx\\ &=\frac{(2 b) \int \frac{e^{2 i x} x^3}{-4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 (2 a+b)+2 b e^{2 i x}} \, dx}{\sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{(2 b) \int \frac{e^{2 i x} x^3}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 (2 a+b)+2 b e^{2 i x}} \, dx}{\sqrt{a} \sqrt{a+b}}\\ &=-\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{(3 i) \int x^2 \log \left (1+\frac{2 b e^{2 i x}}{-4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 (2 a+b)}\right ) \, dx}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{(3 i) \int x^2 \log \left (1+\frac{2 b e^{2 i x}}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 (2 a+b)}\right ) \, dx}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\\ &=-\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 \int x \text{Li}_2\left (-\frac{2 b e^{2 i x}}{-4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 (2 a+b)}\right ) \, dx}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 \int x \text{Li}_2\left (-\frac{2 b e^{2 i x}}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 (2 a+b)}\right ) \, dx}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\\ &=-\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 i x \text{Li}_3\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 i x \text{Li}_3\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{(3 i) \int \text{Li}_3\left (-\frac{2 b e^{2 i x}}{-4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 (2 a+b)}\right ) \, dx}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{(3 i) \int \text{Li}_3\left (-\frac{2 b e^{2 i x}}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 (2 a+b)}\right ) \, dx}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\\ &=-\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 i x \text{Li}_3\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 i x \text{Li}_3\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (-\frac{b x}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i x}\right )}{8 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (-\frac{b x}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i x}\right )}{8 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\\ &=-\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 i x \text{Li}_3\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 i x \text{Li}_3\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{4 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}+\frac{3 \text{Li}_4\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{8 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}-\frac{3 \text{Li}_4\left (-\frac{b e^{2 i x}}{2 a+b+2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\right )}{8 \sqrt{a} \sqrt{a+b}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 1.79821, size = 319, normalized size = 0.77 \[ \frac{-6 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )+6 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )-6 i x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )+6 i x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )+3 \text{PolyLog}\left (4,-\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )-3 \text{PolyLog}\left (4,-\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )-4 i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{-2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )+4 i x^3 \log \left (1+\frac{b e^{2 i x}}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b}+2 a+b}\right )}{8 \sqrt{a} \sqrt{a+b}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x^3/(a + b*Cos[x]^2),x]

[Out]

((-4*I)*x^3*Log[1 + (b*E^((2*I)*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])] + (4*I)*x^3*Log[1 + (b*E^((2*I)*x))/(2*
a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])] - 6*x^2*PolyLog[2, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))] + 6*x
^2*PolyLog[2, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))] - (6*I)*x*PolyLog[3, -((b*E^((2*I)*x))/(2*
a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))] + (6*I)*x*PolyLog[3, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))] +
3*PolyLog[4, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))] - 3*PolyLog[4, -((b*E^((2*I)*x))/(2*a + b +
 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(8*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.102, size = 915, normalized size = 2.2 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3/(a+b*cos(x)^2),x)

[Out]

-3/2*I/((a+b)*a)^(1/2)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b)*polylog(3,b*exp(2*I*x)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))*a*x-1/4/(
(a+b)*a)^(1/2)*x^4-3/4/((a+b)*a)^(1/2)*x^2*polylog(2,b*exp(2*I*x)/(2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))-1/2*I/((a+b)*a)^(
1/2)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b)*ln(1-b*exp(2*I*x)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))*b*x^3+3/8/((a+b)*a)^(1/2)*polylo
g(4,b*exp(2*I*x)/(2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))-3/2*I/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b)*polylog(3,b*exp(2*I*x)/(-2*((a+b)
*a)^(1/2)-2*a-b))*x-3/4*I/((a+b)*a)^(1/2)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b)*polylog(3,b*exp(2*I*x)/(-2*((a+b)*a)^(1/2
)-2*a-b))*b*x-I/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b)*ln(1-b*exp(2*I*x)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))*x^3-1/2/(-2*((a+b)*a)
^(1/2)-2*a-b)*x^4-1/2/((a+b)*a)^(1/2)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b)*a*x^4-1/4/((a+b)*a)^(1/2)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)
-2*a-b)*b*x^4-3/2/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b)*polylog(2,b*exp(2*I*x)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))*x^2-3/2/((a+b)
*a)^(1/2)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b)*polylog(2,b*exp(2*I*x)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))*a*x^2-3/4/((a+b)*a)^(1
/2)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b)*polylog(2,b*exp(2*I*x)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))*b*x^2-3/4*I/((a+b)*a)^(1/2)*
x*polylog(3,b*exp(2*I*x)/(2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))-I/((a+b)*a)^(1/2)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b)*ln(1-b*exp(2*
I*x)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))*a*x^3-1/2*I/((a+b)*a)^(1/2)*x^3*ln(1-b*exp(2*I*x)/(2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))+
3/4/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b)*polylog(4,b*exp(2*I*x)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))+3/4/((a+b)*a)^(1/2)/(-2*((a+
b)*a)^(1/2)-2*a-b)*polylog(4,b*exp(2*I*x)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))*a+3/8/((a+b)*a)^(1/2)/(-2*((a+b)*a)^(1/2
)-2*a-b)*polylog(4,b*exp(2*I*x)/(-2*((a+b)*a)^(1/2)-2*a-b))*b

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{x^{3}}{b \cos \left (x\right )^{2} + a}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3/(a+b*cos(x)^2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(x^3/(b*cos(x)^2 + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 1.26375, size = 8481, normalized size = 20.44 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3/(a+b*cos(x)^2),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/16*(4*I*b*x^3*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*log(1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) + (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) + I*
b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b) + 2*b)/b) - 4*I*b*x^3*sqrt((a^
2 + a*b)/b^2)*log(-1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) - (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a
*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b) - 2*b)/b) - 4*I*b*x^3*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*log(1/2*(
(2*(2*a + b)*cos(x) + (-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sq
rt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b) + 2*b)/b) + 4*I*b*x^3*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*log(-1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) -
(-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) +
2*a + b)/b) - 2*b)/b) - 4*I*b*x^3*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*log(1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) + (4*I*a + 2*I*b)*sin(x)
+ 4*(b*cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/b) + 2*b)/b) + 4
*I*b*x^3*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*log(-1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) - (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x) - I*b*sin(
x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/b) - 2*b)/b) + 4*I*b*x^3*sqrt((a^2 + a*b
)/b^2)*log(1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) + (-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2
))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/b) + 2*b)/b) - 4*I*b*x^3*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*log(-1/2*((2*(2*a
 + b)*cos(x) - (-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2
+ a*b)/b^2) - 2*a - b)/b) - 2*b)/b) + 12*b*x^2*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*dilog(-1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) + (4*I*a
+ 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)
/b) + 2*b)/b + 1) + 12*b*x^2*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*dilog(1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) - (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) - 4
*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b) - 2*b)/b + 1) +
 12*b*x^2*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*dilog(-1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) + (-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) - I*b*
sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b) + 2*b)/b + 1) + 12*b*x^2*sqrt((a
^2 + a*b)/b^2)*dilog(1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) - (-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2
+ a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b) - 2*b)/b + 1) - 12*b*x^2*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*dil
og(-1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) + (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(
(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/b) + 2*b)/b + 1) - 12*b*x^2*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*dilog(1/2*((2*(2*a + b
)*cos(x) - (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b
)/b^2) - 2*a - b)/b) - 2*b)/b + 1) - 12*b*x^2*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*dilog(-1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) + (-4*I*a
- 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/
b) + 2*b)/b + 1) - 12*b*x^2*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*dilog(1/2*((2*(2*a + b)*cos(x) - (-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) + 4
*(b*cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/b) - 2*b)/b + 1) +
24*I*b*x*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(3, 1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) + (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) + I*b
*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b)/b) - 24*I*b*x*sqrt((a^2 + a*b)/
b^2)*polylog(3, -1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) - (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)
/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b)/b) - 24*I*b*x*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(3, 1/2*(2*(2
*a + b)*cos(x) + (-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a
^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b)/b) + 24*I*b*x*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(3, -1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) - (-4*I*a
 - 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b
)/b)/b) - 24*I*b*x*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(3, 1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) + (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*co
s(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/b)/b) + 24*I*b*x*sqrt((a^
2 + a*b)/b^2)*polylog(3, -1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) - (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a
^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/b)/b) + 24*I*b*x*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(3, 1
/2*(2*(2*a + b)*cos(x) + (-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*
sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/b)/b) - 24*I*b*x*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(3, -1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) -
(-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2
*a - b)/b)/b) - 24*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(4, 1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) + (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*
cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b)/b) - 24*b*sqrt((a^2
 + a*b)/b^2)*polylog(4, -1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) - (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^
2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b)/b) - 24*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(4, 1/2*(
2*(2*a + b)*cos(x) + (-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqr
t((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b)/b)/b) - 24*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(4, -1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) - (-4*I*a
 - 2*I*b)*sin(x) - 4*(b*cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt(-(2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) + 2*a + b
)/b)/b) + 24*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(4, 1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) + (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x)
 + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/b)/b) + 24*b*sqrt((a^2 + a*b)
/b^2)*polylog(4, -1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) - (4*I*a + 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b
)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/b)/b) + 24*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(4, 1/2*(2*(2*a +
 b)*cos(x) + (-4*I*a - 2*I*b)*sin(x) + 4*(b*cos(x) - I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 +
a*b)/b^2) - 2*a - b)/b)/b) + 24*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2)*polylog(4, -1/2*(2*(2*a + b)*cos(x) - (-4*I*a - 2*I*b)
*sin(x) + 4*(b*cos(x) + I*b*sin(x))*sqrt((a^2 + a*b)/b^2))*sqrt((2*b*sqrt((a^2 + a*b)/b^2) - 2*a - b)/b)/b))/(
a^2 + a*b)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**3/(a+b*cos(x)**2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{x^{3}}{b \cos \left (x\right )^{2} + a}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3/(a+b*cos(x)^2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^3/(b*cos(x)^2 + a), x)

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]